误差的度量及传播

误差的分类

• 舍入误差：无限位数的数字只能用有限位数的数字来表示，所以会有舍入误差。

  示例：理论值为 $0.\dot{3}$，计算机中只能存储有限位数,如 $0.333333$。

• 截断误差：使用不同方法近似计算所带来的误差。

  示例：理论值为 $e$，计算机中通过有限项 $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$ 来计算。

• 观测误差：由于测量设备的不精确或环境因素的影响，导致测量值与真实值之间的差异。

  示例：测量一个物体的长度，结果为 $10.2$ 米，而真实值为 $10.3$ 米。

由于存在舍入误差，所以任何近似方法都不应该取非常小的值来近似。

绝对误差、相对误差

• 绝对误差 $e$：近似值与真值的差。

• 绝对误差限 $\epsilon (\left|e\right|\le )$：绝对误差的范围（取最后一位有效数字所在位的 $\frac{1}{2}$）

• 相对误差 $e_r$：

  $$\frac{\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{误}\mathrm{差}}{\mathrm{真}\mathrm{值}（\mathrm{或}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{值}）}$$

• 相对误差限 ${\epsilon }_r(\left|e_r\right|\le )$：

  $$\frac{\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{误}\mathrm{差}\mathrm{限}}{\mathrm{真}\mathrm{值}（\mathrm{或}\mathrm{近}\mathrm{似}\mathrm{值}）}$$

如何判断一个近似数的有效数字位数？

例

已知真值 $x=10\pi =31.415926\cdots$，近似值 $x_1^{\ast }=31.41$，$x_2^{\ast }=31.42$，$x_3^{\ast }=31.00$，$x_4^{\ast }=30.00$，判断各近似值的有效数字位数。

下面以 $x_1^{\ast }=31.41$ 为例，说明如何判断有效数字位数。

Step 1. 引入概念：量级

一个数的最高位所在位	该数的量级 $m$
$⋮$	$⋮$
十位	$2$
个位	$1$
十分位	$0$
百分位	$-1$
$⋮$	$⋮$

所以 $x_1^{\ast }$ 的量级为 $2$。

Step 2. 用“$5$”不断尝试，寻找一个数字

计算出 $e=x-x_1^{\ast }=0.005926\cdots$

1. 尝试 $0.5$：

   $\begin{array}{ccccccccc}0& .& 0& 0& 5& 9& 2& 6& \cdots \\ 0& .& 5& & & & & & \end{array}$

2. 由于 $0.5>0.005826\cdots$，接下来再尝试 $0.05$：

   $\begin{array}{ccccccccc}0& .& 0& 0& 5& 9& 2& 6& \cdots \\ 0& .& 0& 5& & & & & \end{array}$

3. 由于 $0.05>0.005826\cdots$，接下来再尝试 $0.005$：

   $\begin{array}{ccccccccc}0& .& 0& 0& 5& 9& 2& 6& \cdots \\ 0& .& 0& 0& 5& & & & \end{array}$

4. 终于 $0.005<0.005826\cdots$，此时停止尝试。

5. 因此寻找到的这个数字为最后一个大于 $e$ 的 $0.05$，即 $0.5\times {10}^{-1}$。

Step 3. 求有效数字位数 $n$

使用公式：$0.5\times {10}^{m-n}$，其中 $m$ 为 $x$ 的量级，$n$ 为要求的有效数字位数。

所以 $0.5\times {10}^{-1}=0.5\times {10}^{m-n}=0.5\times {10}^{2-n}$，解得有效数字位数为 $n=3$。

以此类推

使用上述的方法，可得到 $x_2^{\ast }$ 的有效数字位数为 $4$，$x_3^{\ast }$ 的有效数字位数为 $2$，$x_4^{\ast }$ 的有效数字位数为 $1$。

其中，$x_2^{\ast }$ 的有效数字位数为 $4$，同时 $x_2^{\ast }=31.42$ 本身就有 $4$ 位数字，这时就称 $x_2^{\ast }$ 为有效数。

误差传播

若有函数 $y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，用含有误差的近似值 $x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast }$ 计算出的 $y^{\ast }$，其：

• 绝对误差：

  $$e(y^{\ast })=\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }e(x_i^{\ast })$$

• 绝对误差限：

  $$\epsilon (y^{\ast })=\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }\epsilon (x_i^{\ast })$$

• 相对误差：

  $$e_r(y^{\ast })=\frac{1}{y^{\ast }}\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }{x}_i^{\ast }{e}_r(x_i^{\ast })$$

• 相对误差限：

  $${\epsilon }_r(y^{\ast })=\frac{1}{y^{\ast }}\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }{x}_i^{\ast }{\epsilon }_r(x_i^{\ast })$$

其中的 ${f_i}^{\prime }$ 都为关于 $x_i^{\ast }$ 的偏导。

算法设计原则

1. 避免相近数相减。

   如果遇到应改写式子，如当 $x$ 很大时，左式应改为右式再进行计算：

   $$\ln (x+1)-\ln x\Rightarrow \ln \frac{x+1}{x}$$

   特别情况

   实在不能改写的，应考虑泰勒展开等方法。

   如 $x-\sin x$ （$x$ 充分小）。

2. 避免用绝对值过大的数加绝对值过小的数。

   由于大数位数的影响，太小的数可能无法被正确表示。

3. 避免用绝对值过大的数除以绝对值过小的数。

   结果可能溢出。